書名：七小時微積分Pass過：商管學院、高中生入門必備，快速搞定斜率、曲邊梯形面積、極限……躲不掉的大魔王，我絕不重修。

作者簡介

劉祺
　　2004年成為程式設計師，曾參與多篇外文學術文獻的翻譯工作。目前是圖像程式設計師、獨立駭客、數學達人。
　　熱心的開源（Open Source）社群志願者，並為程式語言Rust和瀏覽器引擎Servo提供中文化介面。參與《Rust程式語言》翻譯工作，撰寫〈橢圓面積公式推導方法比較〉、〈人肉挑戰尤拉計畫〉、〈除了吃以外的世界：舌尖上的數學〉等廣受好評的文章。
　　目前在個人公眾號上連載《磨磨嘰嘰的C語言：C語言入門到精通》。

書籍目錄

推薦序一 不管數學程度好不好，都能從此了解微積分╱張旭
推薦序二 大學數學的敲門磚，就看這一本╱周虎
推薦序三 從生活問題出發，自然而然學會微積分╱魏少華
前言 從生活學數學，輕鬆搞懂微積分

第1章 函數是一種對應關係，用「縮印」比方
影印店裡的函數和映射
用多元函數計算怎麼影印才划算
商品陳列就是集合的概念
即是筆又是塑膠的原子筆，怎麼分類？

第2章 斜率是微積分的基礎，化成火車時刻表就好懂
從行車軌跡到函數圖像
函數圖像和火車頭一樣，都是對稱的
數列的極限
探討極限的巴塞爾問題
兩個重要極限之一
兩個無窮小怎麼比大小？
兩個重要極限之二
極限是微積分最重要的基礎

第3章 用數學模型推測麵團的大小
無法直接解決問題時，就建立數學模型
最常見的建立模型方法——假設演繹法
做研究也講求直覺和運氣
建立模型時，先忽略會造成影響的變數
16個主要導數公式及推導範例
導數的運算法則，可以直接套用
複合函數的導數這樣算
反函數與反函數求導

第4章 彈珠的滾動速度與導數
導數存在的4大準則
洛爾定理
拉格朗日均值定理
伽利略的困惑
推導瞬間速度的泰勒展開

第5章 把股票走勢變成曲線——曲線擬合概念
曲線擬合——推導符合曲線的函數式
函數也能倒著學，先有圖像再求式子
垂直線不是函數
圓的標準式
橢圓的標準式
三次板條線——擬合不規律曲線的好工具
函數的單調性和駐點
極值點，股價走勢的反彈點
用曲線的凸凹性，模擬股票走勢的階段
凸凹性判斷方法

第6章 橋洞設計與不定積分
沒有準確座標的曲線擬合法
初識積分表
導來導去回到原型的不定積分
證明積分公式的代換法
更簡單的積分計算方法——分部積分法
微積分的樂趣——一題多解

第7章 做一件衣服要用多少布？計算曲邊梯形面積
不定積分——把分割成小段的東西求和
常數C到底能不能省略不寫？
定積分——不定積分的一小片段
Σ和∫有什麼不一樣？
小學學過的面積公式
定積分下的面積公式
定積分也能求圓和橢圓的面積
直角三角形——平行四邊和三角形面積的基底
平行四邊形面積公式推導
曲邊梯形的面積算法

第8章 包水餃學球體，皮是表面積，餡是體積
用圓面積算出圓周長
弧長怎麼算？把曲線分成很多小直線
驗證弧長公式
球體表面積的算法——剖成很多個圓周長
定積分下的體積公式
表面積的另一種算法
表面積的第三種算法——多重積分
水餃的皮多餡少怎麼辦？

第9章 魚缸水壓，是微積分與物理的結合
水壓的計算
數學是從物理而來的問題
會改變強度的壓力怎麼算？

第10章 酒精代謝還是中毒？只有微積分能算出來
從克卜勒到微分方程式
初探微分方程式
齊次微分方程式
一階線性微分方程式
微分方程式模型——研究動態事物的好方法

後記 數學之所以存在，不為了定義，而是思想

附錄1 本書使用的符號系統
附錄2 常用公式及其證明
附錄3 積分表
附錄4 多元函數的微積分簡介
參考文獻

推薦序/導讀/自序

前言
從生活學數學，輕鬆搞懂微積分

能翻開這本書的大多數人，想必對數學都有濃厚的興趣。現在有很多年輕人在學習奧數（按：因國際數學奧林匹克競賽而生的數學課程），然而除去奧數在升學中的加分，他們對數學的熱愛又有多少呢？最近逛書店時，餘光所及的幾排書架上，全部都是有關數學的書籍，從小學數學講義，到考研究所的數學模擬試題，應有盡有，但當取下一本來閱讀時，裡面枯燥乏味的證明過程，讓我的心瞬間涼了一半。那些數學帶給我的快樂，彷彿一下子煙消雲散了。
前些年的寒假，我幫很多孩子解答數學問題，絕大多數孩子問的，都是各自在數學課遇到的題目，而有幾個即將參加高考的孩子，特別引起我的注意。其中一個孩子，到期末考時數學都還不及格，他一直抱怨自己數學基本觀念很差，不擅長理工科目。我像往常那樣安慰鼓勵他，同時也不得不告訴他，各學習重點往常出過什麼樣的題型，應該怎麼做、怎麼複習等等。但可以預見的是，等到高考過後，他就會完全忘記現在學到的數學知識，只會記得數學是一門令他頭疼的課程，還有一個喋喋不休的數學老師。
不過，當閱讀這本書時，魔王一樣的數學就會和你成為朋友，你也會擁有那些生活中，由數學帶來的快樂和美好記憶。這本書把那些冗長而無趣的證明過程，都換成了生活中的常見現象，開創新的高等數學講解方法。書中不提那些繁雜又毫無用途的證明過程，只通過十個生活中常見的範例，就可以掌握相當於大學水準的數學知識，所以這本書是學習數學的一條捷徑，還很適合在零碎時間閱讀。
20世紀最重要數學家之一，有「博弈論之父」稱號的約翰．馮紐曼（Johnvon Neumann）曾說過：「如果人們不相信數學是簡單的，只是因為他們還沒有體會到生活的複雜。」如果你認為生活中的柴米油鹽比數學還簡單，只可能是你沒有掌握到學習數學的方法。
所以，請不要一看見數學就覺得頭疼。實際上，學習微積分不需要很高深的數學知識，甚至可以說，微積分和高中數學差不多，只需要會加減乘除，並且知道怎麼求一些簡單幾何圖形的面積，就完全可以跟著這本書學會微積分。
數學是有趣的。從義大利數學家斐波那契（Leonardo Pisano Bigollo）的兔子問題，到「猴子也能寫出莎士比亞（William Shakespeare）劇作」的「無限猴子定理」，再從17 世紀神聖羅馬帝國的哲學家哥特佛萊德．威廉．萊布尼茲（Gottfried W. Leibniz）和艾薩克．牛頓（Isaac Newton）的微積分，到神奇的莫比烏斯環，都詮釋出了數學的無窮樂趣。就如同中國微分幾何學家陳省身教授生前所說過的那樣——數學很好玩。
中國人自古以來就有「尚用」的精神，即「什麼東西有用就做什麼，什麼事物有用就學什麼」，而數學就是最有用的東西之一。你可能會說：「數學怎麼可能會在生活中有用？我的生活裡最多也就是加減乘除，那些高深的定理公式和我有什麼關係？」
但是相信當你讀完這本書就會發現，學數學像吃飯：你可能不記得吃過什麼，但是吃過的食物，有一些會成為你身體的一部分；學數學也是一樣，你可能不記得學了什麼定理，但是它背後的思想會變成你靈魂的一部分。有不少人這樣問過我：「能夠最快提升自身氣質的方法是什麼？」、「怎樣鍛鍊出好脾氣？」我的回答都是：「那就學數學吧！」
在魚龍混雜的網路世界中，數學可以借你一雙慧眼識破謠言，解密真相；在競爭激烈的職場中，數學是你發展專業的敲門磚。如果你堅持只要會加減乘除，就足以應付日常生活瑣事，那麼這本書將會顛覆你這一想法；如果你認為數學枯燥無趣，這本書也將會改變你對數學的印象。
本書全部內容由劉祺編寫。其中，特別感謝譚寬先生對第10章中涉及醫學知識的詳細說明，還要感謝在本書背後默默奉獻的編輯，以及在創作期間給予幫助的前輩、同行、朋友。
我相信，讀完這本書後你會發現，原本以為數學很難，是因為那些名詞讓人迷惑，但實際上都只是一碰就倒的「紙老虎」而已。
限於編者水準和時間倉促的緣故，書中不免存在不嚴謹和疏漏之處，還請廣大讀者批評指正。

推薦序一
不管數學程度好不好，都能從此了解微積分

國立臺灣師範大學數學碩士、張旭無限教室創辦人╱張旭

如果你總覺得數學好難，但又逼不得已必須學會數學，從生活中的實際例子進入數學世界，是個很好的方法，《七小時微積分Pass過》正是這樣一本書。
極限和微分是微積分的基礎內容，大部分的書和課程都是直接從冷冰冰的定義快速切入，但本書作者用火車行進的狀態來說明，讓讀者在第一時間就能體會，極限和微分的直觀感受。
縱使這種比喻不夠嚴謹，卻能讓人更快理解什麼是極限、什麼是微分，況且數學的發展，往往都是先抓住核心概念，再逐步嚴謹化，因此我認為這本書的表達方式，不但符合數學的發展進程，同時還有推廣微積分的效用，拉近了人們與微積分的距離。
可能是因為篇幅的關係，這本書或許無法完整解釋每一個數學等式的推導過程，但我認為，這卻正好留給那些被作者吸引進微積分世界的讀者們，一個思考與找尋答案的機會。
有時候學習需要的，不是一本從頭到尾都寫得百分之百清楚的書，而是一本留下適當空白來誘發學習動機的書。一本沒有任何留白的書，或許可以讓想認真學習的人學到完整知識，但就無法為了填補空白，而養成獨立思考、主動找尋解答的能力。因此，這本書不只是平易近人，還能夠引導讀者思考和探究。
書中也有不少數學家的故事和一些數學小知識，例如費氏數列、數學家尤拉、美國著名經濟學家納許的故事，光是看這些故事也能提升不少數學素養，因此即便不去探究所有的細節也沒關係。
這樣說起來，這本書好像不適合數學底子好的人？但實際上，數學好的人仍然可以看這本書，因為書中的實例和數學故事，有時正是那些數學好的人所缺乏的。怎麼說？
因為數學好的人，往往在接觸某個數學觀念的抽象定義時，很快就能理解並熟練，所以就不會注意到這些觀念到底是為何而存在。在那些數學好的人眼裡，數學定義就像有趣的遊戲規則，只要按照那些規則，就能玩出更有趣的數學遊戲，孰不知數學的定義，往往源於數學家觀察大自然運行，和自身周遭狀態時的心得，這些思想才是數學存在的意義。
不同數學程度的人，都能隨著作者的引導進入這本書的世界，而不同的閱讀力道，也都能從中挖出不少收穫，看門道的，能補足單變數微積分的絕大部分內容，看熱鬧的，可以了解微積分和真實世界的關係。
因此，不論你是數學底子好或不好，只要你想了解微積分究竟是怎樣的一門學問，我都相當推薦你來看看這本書。

想知道更多微積分，掃描這裡就找得到！


推薦序三
大學數學的敲門磚，就看這一本

北京清華大學土木系教授╱周虎

我們都曾光顧影印店很多次，可以算是常客了。可是你有沒有發現，影印店老闆經營生意的祕密？有沒有想過，縮印文件中包涵的數學問題？還有平常買東西時，有沒有仔細思考過其中的數學方法是什麼？遇到春運時，只是抱怨人多？還是有嘗試發掘其中的數學問題？
當然，你可能會認為這些問題這麼簡單，不可能有什麼數學方法。或者說，高等數學和微積分這麼抽象的東西，怎麼可能出現在這些小問題裡？如果你是這樣想的話，可就真是錯得有些離譜。
其實數學問題都是源於生活，但又高於生活的，把數學和生活徹底分開，既不合理也不可能。當然，數學也並不完全是枯燥無味，只是你還沒有找到一個適合自己的學習方法。
從翻開這本書開始，我就對它充滿了期待。這本書把數學完美的融和在日常生活之中，讓你在體會生活的同時，也能感受到數學的獨特魅力。這本書將會重新喚醒你對於數學的熱愛，讓數學不再是你的夢魘。
在高中裡流傳著這樣一個笑話：從前有棵很高很高的樹，叫做高數，上面掛了很多很多人。樹的旁邊有座墳叫微積分，裡面葬了很多很多人。如果有一天高數和微積分相愛了，它們私奔到天涯海角，從此消失在校園裡，將會是我們聽過最美好的愛情故事。
這個笑話說明了，無論是高等數學還是微積分，在校園裡都是最令人痛苦的課程。
對於那些剛剛進入大學的學弟妹們，作為學長姐最怕被問的問題就是：「怎麼學好高數。」因為無論是文組還是理組的學生，在高二時就已接觸過一部分高等數學和微積分的內容了，只是高中老師為了高考只專注講公式定理，大學教授又覺得高中都教過了，所以會跳過很多基礎概念不講。於是期末考時所有學生幾乎都在背公式、例題，所有人都進入了一個無法逃脫的奇怪回圈——考前背、考後忘，就怕下屆學弟問。於是乎，對於我們這些蒙混過關的學長姐們來說，搪塞學弟妹最好的一句話就是：「上課認真聽講，下課認真完成作業。買本習題解答就成了。」但是至於運用的能力，幾乎為零。
第一次看見這本書稿的時候，我很開心，因為當時我的高等數學課程剛好也學到了多重積分，然而，對於積分程度不夠扎實的同學來說，高數課就是「老師在講，我自己在看書」，而且自己的進度慢了不止一、兩節。所以我立刻分享這本書的部分內容給同學們，希望他們可以藉由這本書提高學習數學的樂趣，補足一些數學基礎。
或許你們會想問：「有關積分的課本那麼多，為什麼要分享這一本？」市面上除了那些高數課本以外，的確還有很多的補充教材，可是這些書夠通俗易懂、結合生活嗎？而本書只透過10個例子，就為大家講解了高等數學中很大一部分知識，也巧妙避開了那些枯燥的證明過程。這本書詮釋了「數學的精髓不在於知識本身，而在於數學知識中所蘊含的思想方法」的道理。在我看來，教科書是讓你通過期末考試，而這本書更能讓你懂得使用微積分。
這本書幫助我的學生打破之前對數學的認識——數學越學越枯燥。不僅如此，受到這本書的啟發，他們反而覺得數學越讀越有趣。特別是這本書的第7章，讓大家終於弄懂了那些抽象的面積公式是怎麼證明出來的，也開始關注那些「想當然」背後的數學原理，而這正是站在微積分的數學山峰上能看到的壯美風景。
只要將這本書作為你的大學數學入門書籍，相信你一定會愛上數學的。如果你還沒有準備好，那麼現在就跟隨這本書，一起進入數學的世界吧！

推薦序四
從生活問題出發，自然而然學會微積分

北京源智天下科技有限公司執行長╱魏少華

其實在學生時代，我就非常討厭數學，是典型的「數學過敏症」患者。每次聽到數學老師說：「這又是一道送分題」，我內心只會暗暗的說：「要不起。」
當得知要為一本講微積分的書寫序時，我只覺得，又一本我看不懂的大學教材縮印本，會在不久的將來出版了。但是當我看到本書的目錄後，這個想法就突然消失了。我想：這也許是一本我能看得懂的數學書。
這本書一開始就討論我最抗拒的函數，但是作者卻沒有用教科書式的口吻來講解，而是把我領入一個真實的情景中。碰巧，第1章所說的情景，正是我開始閱讀這本書的當天所經歷過的，所以它一下子就引起了我的興趣。這本書也許正是改變大家對數學刻板印象的末班車。
過去很長一段時間裡，奧數一直是小學升中學，和中考、高考的加分項目，所以數學教育一直被家長的功利心所轄治，數學老師更是本著「勤能補拙」的信條，大搞題海戰術、競賽轟炸。然而，近年來奧數已不再享有加分政策，家長和老師們又馬上轉移陣地，專攻起各種專長的補習。一旦拋開功利，大家對數學的熱愛還剩多少？
現代社會對人的數學素養要求越來越高，自第二次世界大戰之後，幾乎全世界都認為，美國在新科技發展中有著領先地位。實際上，這些科技創新都依賴於美國在數學和科學教育上的領先。換句話說，如果想培養創新型人才，就必須重視數學教育。
隨著科技發展和社會進步，數學不再只是理工科系的基礎課程，已經與越來越多的新領域相互滲透，形成交叉學科。
時至今日，對於能夠熟練應用數學科學的工作者需求與日俱增，「高新技術的本質就是數學技術」的觀點，已經被越來越多的人所接受，然而，也有報告指出，有超過22％的大學一、二年級學生，需要補習數學，而數學程度真正達到畢業門檻的大學生人數，卻不足一半。
這本書拋開了傳統大學教材式的思維，而是藉由生活化的場景及實例，向讀者展示什麼是微積分、如何學習微積分，以及如何解決微積分題目。這是一本手把手教你數學思考過程的神奇之書，不是單純的證明和使用公式而已，而作者的口語化行文也讓這本書簡單易讀。
另外，這本書對於讀者數學程度的要求並不高，卻能大幅度提升數學素養。像我這種從高中畢業後就再也沒怎麼碰過數學的人，也可以透過自學本書達到大學生的平均程度。
傳統的數學教材，無疑是偏重讓學生掌握準確快捷的計算方法，和嚴謹的邏輯推理，而這本書則是培養讀者使用數學工具分析和解決問題的能力。
大多數大學生使用的，是經典的《高等數學》這本教材，和其他典型教材一樣，它也是按照數學的邏輯思路編寫而成。但是對於完全不想學數學的人而言，這樣的書就很可能讀不下去。而這本書和教材最大的不同在於，它會先提出一個生活中常見的問題，再順理成章的解釋它背後的數學原理，最後歸納出嚴謹的數學定理。這正是這本書最為引人入勝的地方。
在閱讀這本書之前，我也認為「數學只要學到能買菜的程度就行」，而這本書超越了我從小學到高中畢業所有對數學的認識，雖然只有10個章節的內容，但是它帶來的效果，卻超過了之前12年的數學教育。
如果現在你還認為「數學只需要學會加減乘除」的話，我推薦你看一看這本書，它將會顛覆你對數學的認識。

文章試閱

影印店中的函數和映射
大家一定遇過這樣的問題：想查閱某些非常重要的文獻資料時，發現手頭上沒有，便只能去圖書館借閱。若想永久保存書中的某一章節，影印或許是個好辦法，但是對於某些專業領域的書籍來說，影印不僅浪費紙張，而且印出來的紙本文件也不方便攜帶，這時就會用到影印機的縮印功能。這本書的一開始，我們就來探討一下縮印需要多少張紙的問題。
如果我們使用一般的事務機或影印機，為了確保在縮印之後，文字既不會變形也能清楚辨識，可以選擇把原書的長和寬都縮短一半，再印刷在和原書一樣大小的紙張上。由此可以輕鬆計算出：在一張紙的一面上，可以印刷原書4 頁的內容。如果採用雙面印刷的話，在同一張紙上就可以印刷原書8 頁的內容，兩張紙可以印刷原書16 頁的內容，三張紙可以印刷原書24 頁的內容……
因此歸納出下列式子：
需影印的原書頁數＝用於縮印的紙張數×8
利用等式的性質，可以在等式兩側同時除以8，於是就得到了：
需影印的原書頁數÷8＝用於縮印的紙張數
經過再次整理，可以得到：
縮印用紙數＝需印原書頁數/8
但這個算式存在一個問題：如果有一本100 頁的書籍需要縮印，那麼縮印用紙數量即為12.5。會出現小數，是因為縮印所需的最後一張紙只用了一半，但在現實生活中，就算只用了一半，也要按照一整張紙來計算。那麼就把上面的算式變成：
縮印用紙數＝⌈需印原書頁數/8⌉
添加在等式右側的⌈⌉符號叫「向上取整」。意思是，當用了少於一張的紙時，不管用了這張紙的多少，都要按照一整張計算。當然，你也許會遇到一個慷慨的影印店老闆，說：「既然最後一張沒有印滿，那麼這張紙就不算在內了。」這時候就會出現下面的算式：
縮印用紙數＝⌊需印原書頁數/8⌋
添加在等式右側的⌊⌋符號叫「向下取整」。它的意思是，當你非常幸運遇到慷慨的老闆，他會因為最後一張紙沒有印滿，而不向你收取該張紙的費用。
如果我們把上述問題用數學來表達，可以寫成如下形式：
設：用x 表示需印刷原頁數，y 表示縮印用紙數量，f(x) 表示用紙的數量和原有頁數之間的轉換關係，即有：
Y=f(x) f(x)= ⌈x/8⌉
當然你也可以把f(x) 去掉，寫成：
Y=⌈x/8⌉
這裡，我們將Y=⌈x/8⌉稱為「映射」，f(x) 則為「函數」。縮印一本書實際需要多少張紙，要看原書需要縮印的內容有多少頁，也就是上式中的x，所以x 就叫「自變數」，因為它是可以自由改變的。而代表縮印使用了多少張紙的y，雖然也會改變，但它是根據x 的改變而改變，所以把y 稱為「應變數」。
細心觀察就會發現，如果需要縮印的頁數有97 頁，就會印出13張紙，需要縮印的有98 頁時，還是需要印13 張紙。按這一規律推算，當需要縮印的頁數有104 頁時，我們還是需要13 張紙。也就是說，當需要縮印的頁數在97 頁至104 頁時，都需要用到13 張紙。由此可以歸納出：一個自變數所對應的應變數是唯一且明確的，但一個應變數卻可以被若干個自變數所對應。這就是函數和映射的性質。

商品陳列就是集合的概念

現在的文具琳琅滿目、種類繁多，文具店在陳列商品時，都會按照一定的規律來收納擺放。比如，把所有的筆放在同一個筆筒裡，把筆記本集中堆成一疊，把圓規和尺放在一起。
為了更方便顧客選購，也可以把筆分類：鉛筆根據筆芯的軟硬度不同，放在不同的筆筒裡，自動鉛筆單獨放一個筆筒，鋼筆、簽字筆、油性筆也要放在不同的筆筒，然後再把這些筆筒排列整齊放在一起。筆記本也按照尺寸大小分開疊起來，然後再整齊的放在貨架上。在數學上，這種收納和分類的方法稱為「集合」。
把所有文具放在一起，就會構成一個集合，可以根據自己的喜好，給這個集合取個名字，例如：文具集。文具集這三個字的含義，就是把文具店裡所有的文具放在一起。我們可以將所有文具簡單的分為筆、本、作圖工具和其他，如果把文具裡所有的筆挑出來，就可以構成一個新的集合，取名為筆集。
顯然，每個集合裡面的內容都是一些有共同特點的事物，因此建立集合的標準之一就是：集合中的事物要有明確的共同點。當然，所謂的共同點只要能自圓其說就可以了，比如也可以把塑膠尺和原子筆放在一個集合中，因為它們都是塑膠製品。而在筆集這個集合中，還可以再細分為鉛筆、鋼筆、原子筆……也就可以對應鉛筆集、鋼筆集、原子筆集……。
對於任意一支筆來說，它都屬於筆。如果使用數學語言來表達時，就會說這支筆是筆集裡的一個元素，所以任意一支筆都可以被稱為「元素」。拿一支HB 鉛筆來說，就可以說：HB 鉛筆是筆集的一個元素；也可以說：HB 鉛筆屬於筆集。如果用符號表示即為：
HB鉛筆∈筆集
當然，HB 鉛筆也屬於鉛筆集，也可以說：HB 鉛筆是鉛筆集的一個元素，用符號表示為：
HB鉛筆∈鉛筆集
如果要表示HB 鉛筆不屬於鋼筆集，也就是HB 鉛筆不是鋼筆集的一個元素，用符號表示為：
HB鉛筆∉鋼筆集
所有的鉛筆都是筆，但是鉛筆有很多種，筆也有好多種，這時候鉛筆就不能按照元素，而是要按照集合來考慮了。所以，我們認為鉛筆集是筆集的子集，其含義就是：所有的鉛筆都是筆，用符號表示即為：
鉛筆集⊆筆集
對於文具店來說，一模一樣的商品非常多，如果數量太多，就應該把它們放在倉庫裡，只留樣品放在外面展示。集合也是這樣，集合裡面的元素就相當於樣品，每個集合裡面的元素是不重複的。
有時，某些商品非常暢銷，以至於完售，甚至連樣品都賣出去了，在商家再次訂購之前處於缺貨，也就是「一個都沒有」的狀態，在數學上被稱為「空集」，符號為?。
在數學上有一個有趣的現象，就是把「什麼都沒有」也當成一種狀態或一個集合，而且任何集合都有可能什麼都沒有，也都包括什麼都沒有。這有點像是「任何數字加上0 都等於它自己」。所以，空集是任何一個集合的子集。
此外，任何一個集合也應該包括它自己。比如「筆集是筆集的子集」，這看起來很怪異，但其意為「所有筆都是筆」，而這在邏輯上也成立，所以任何一個集合也是它本身的子集。
為了避免表達得不清楚，於是數學家整理出了「真子集」的概念，即是：如果A 集合屬於B 集合，而且A、B 兩個集合不相等，那麼A 集合就是B 集合的真子集。再以鉛筆集和筆集為例，因為所有鉛筆都是筆，而鉛筆不能包括所有的筆（因為還有鋼筆、圓珠筆、記號筆、毛筆……），就會說：鉛筆集是筆集的真子集。用符號表示為：
鉛筆集⊂筆集
需要特別注意的是，在不同的書籍上，使用的符號也不統一，因為不同的數學家或者編者，慣用的符號系統不同。為了嚴謹起見，在證明時應該先說明自己使用的符號系統。
在專業的數學教材中，對於之前學習過的函數是這樣定義的：把定義域和值域看成兩個非空集合，函數是使得定義域集合中的每一個元素，都在值域集合中有唯一一個元素與之對應。我們把這種對應的法則稱為映射。
從文具店陳列商品的方法，我們就能夠藉由映射和之前學過的函數，把集合的概念緊密聯繫起來了。原本枯燥乏味的數學，也能夠透過生活中常見的實例，生動具體的展示出來。

無法直接解決問題時，就建立數學模型

雖然前面兩章是從實際問題出發，不過我們一直都在想像和假設中進行計算或推理，儘管這樣做可以很快理解函數和極限這類抽象的數學概念，但其缺點就是缺乏嚴謹性和說服力。要讓結論更具有說服力，就必須建立數學模型。
數學模型有一點像是拍電影時用的微縮模型，譬如拍攝古裝劇時，為了保護古蹟而不能在真正的古代皇宮拍攝時，劇組就需要建立一個模擬的皇宮。雖說這皇宮是個「冒牌貨」，但只要在視覺效果上沒有差別就可以了。
再比如說，拍攝某些危險的鏡頭時，要請特技演員代替；又或是需要拍攝地震、海嘯之類的災難片時，導演會採用拍攝微縮模型，或是藉由電腦合成技術營造真實的視覺體驗。
在科學研究過程中，也會出現無法直接研究真實事物的情況，比如研究進化論1 時，我們不可能讓地球上所有生物都退化成單細胞的狀態，當遇到這種棘手問題時，抽象模型就發揮了重要的作用。在數學上，我們建立的抽象模型就叫數學模型。

最常見的建立模型方法——假設演繹法
要如何建立數學模型，又該以怎樣的方式研究它？假設演繹法便是一種廣受青睞的方法。雖然這個方法有時會讓人陷入一些看似合理的陷阱，但在歷史上，假設演繹法仍幫大家解決了不少難題，例如奧地利科學家格雷高爾．孟德爾（Gregor Mendel）的遺傳因子理論。
假設演繹法的一般步驟可以被歸納為：觀察和分析現象、推理和想像、提出問題、演繹推理、提出假說、實驗驗證和得出結論。也有人將其歸納成更簡單的四步循環：實際現象—數學模型—模型的解答—現象的解答。用更科學的說法描述這一過程則是：顯示出實際現象和數學模型的關係。
從數學模型的角度來看，這個方法是歸納、抽象實際狀況，所以，數學模型雖然源自於實際，但更為抽象。如果從實際現象來觀察數學模型的解答，就需要經過實際狀況的檢驗，並且回頭解釋實際現象，因此也有學者將這整個過程歸納為「實踐—理論—實踐的回圈」。

做研究也講求直覺和運氣
無論是研究數學模型還是數學的其他分支，直覺和運氣都是關鍵。在數學研究中，如果一開始的思考方向就和正確方向大相徑庭，那就很難得到正確的結論。當然直覺也不是憑空產生的，需要累積豐富的經驗和知識，並能熟練的多方面思考。
研究數學還需要一定的運氣，比如古希臘天文學家克勞狄烏斯．托勒密（Claudius Ptolemaeus）就是因為運氣欠佳，才會提出錯誤的學說—地心說。根據他的學說，地球處於宇宙中心恆定靜止的位置，從地球向外依次有月球、水星、金星、太陽、火星、木星和土星等，並且都在各自的軌道上繞著地球運動。
在今天看來，這樣的觀點排除其歷史價值6 之外，顯然滑稽可笑，但是在科學研究水準和條件有限的情況下，這樣現在能夠被輕易推翻的理論，在當時卻是學術的權威。類似的例子也曾出現在牛頓、湯瑪斯．愛迪生（Thomas Alva Edison）這樣的大科學家和發明家身上。我們不禁感嘆，如果他們的運氣再稍微好一點，這世界不知道還會更先進多少！所以，對於研究數學和科學的人來說，「運氣也是實力的一部分」一點都沒錯。

建立模型時，先忽略會造成影響的變數
在現實世界中，絕大多數的現象都存在隨機性、動態性以及非線性7 的特質。這裡為了研究方便，我們只取比較容易被觀察和控制的屬性，來研究特定現象，實際上就是簡化和抽象該現象。譬如，不考慮麵團內酵母的品質對麵團大小的影響。

童話裡的數學模型

有若干個巫婆和一個公主共同居住在一個小島上。如果有巫婆吃掉公主，這個巫婆就會變成公主，但她同時也會失去法術，並且有可能被其他巫婆吃掉。假如所有巫婆都希望能變成公主，也都能夠保命，那麼在有20 個巫婆的情況下，公主能不能安全的活在島上？
提示：和第1 章中提到的海盜問題一樣，我們還是來建立一個比較簡單的模型，然後慢慢將其複雜化，這樣就可以知道答案了。

從只有一個巫婆開始推演
假如只有一個巫婆和公主生活在島上，那麼巫婆肯定會吃掉公主。因為她知道吃掉公主、失去法術之後，也沒有人能威脅她了。
如果有兩個巫婆和公主一同生活在島上，公主安全嗎？答案是肯定的。因為公主被吃掉之後，就會變成一個公主和一個巫婆的情況，那麼先吃掉公主的巫婆，就會被另一個巫婆吃掉。為了保命，兩個巫婆都不敢去吃公主，所以公主會是安全的。
接下來再讓模型複雜一點。如果有三個巫婆，她們之中肯定會有人先吃掉公主。因為這樣就變回了上一段中的情況，剩下兩個巫婆誰也不敢吃她，因為先吃她的巫婆肯定會被另一個吃掉。
然後再讓模型更複雜一點，當有四個巫婆時，如果有誰先吃了公主，那麼馬上就會變成三個巫婆的情況，這時誰也不敢先吃公主，所以公主是安全的。
根據這樣的規律，當島上有奇數個巫婆時，就會有巫婆先下手為強吃掉公主；當島上的巫婆是偶數個時，所有巫婆都不敢先吃公主，以避免變為奇數個巫婆後自己會被吃掉。
由此我們就得出了這樣的結論：當島上有偶數個巫婆時，公主是安全的。題目中說島上有20 個巫婆，而20 是偶數，所以公主能安全的生活在島上。