書名：不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！
原文書名：Math Without Numbers
產品代碼：
9786267195017系列名稱：
自由學習系列編號：
QD1038定價：
360元作者：
米羅•貝克曼Milo Beckman譯者：
甘錫安相關作者：
繪者:M Erazo頁數：
224頁開數：
14.8x21裝訂：
平裝上市日：
20220915出版日：
20220915出版社：
經濟新潮社(城邦)CIP：
310市場分類：
天文數學產品分類：
書籍免稅聯合分類：
自然科學類- ※在庫量小
商品簡介
當數學裡沒有數字，會發生什麼事？
——沒有練習題，沒有標準答案，剩下的是發現、探索、推論，以及解謎的樂趣！
這本書除了頁碼之外，完全沒有數字，同時還有100多幅由紐約當地藝術家M手繪的插圖。作者利用文字和圖像來傳達重要的數學概念的感覺，並省去了公式和計算。
雖然沒有數字，但這本書對於數學是什麼？數學涵蓋哪些部分？最有趣的地方在哪裡？這些探索是絕不打折，而且能讓您對於數學，有更廣闊的了解。
例如，有什麼東西比「無限大」更大嗎？世界上總共有多少種形狀？現實生活中什麼時候會用得上這些？這些問題其實都有答案，但答案都不是數字。
從本書一開始，作者帶領我們進入一個奇妙的「現實平面」。在這個平面上，正方形是圓形、賽局是樹，自然世界則是電腦模擬。對於學過九九乘法之後就不再關注數學的人而言，數學真的是抽象怪異到了極點！但是，數學為什麼還那麼有用呢？
這本書寫來生動活潑，而且極富原創性，它帶領我們認識抽象數學的三大分支：拓樸學、分析和代數，把這三個領域解釋得很清晰而有趣。作者說，其實關鍵就是掌握模式。這本書一反傳統的教學方式，邀請讀者運用創意，來思考空間和維度、無限大和無限小、對稱、證明、結構，以及這些概念如何結合在一起，最後，將這些概念應用在日常生活中！
歡迎來到人類知識的最前沿，體驗數學的美麗與奧祕。
專業推薦
李政憲，新北市林口國中老師
洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長
游森棚，臺灣師範大學數學系教授
我要大力推薦這本書！有鑑於拓樸學、量子力學以及相對論極有可能成為本世紀下半葉的公民基礎素養，我尤其希望有語文閱讀自信的讀者，一定要特別注意這一類數學普及書籍的問世，因為這攸關公民科學素養的必要選項。
——洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長
這是一本非常特別的數學科普書！我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。
——游森棚，臺灣師範大學數學系教授
什麼？學數學可以不用數字？！作者深入淺出，以圖文介紹了許多看似難懂的數學名詞，以及這些概念與生活、遊戲與哲學等面向的連結，若你覺得不知道數學有何用處，或是有興趣想研究更多數學面向，這本書值得一讀。
——李政憲，新北市林口國中老師、藝數摺學FB社團創辦人、教育部師鐸獎得主
《不用數字的數學》以迷人的魅力、堅定的熱情和大量插圖，帶領讀者進入高等數學的花園。
——喬登．艾倫伯格（Jordan Ellenberg），威斯康辛大學麥迪遜分校數學教授、《數學教你不犯錯》作者
就像在跟你聊天一樣，這是一場愉悅、迷人的數學世界之旅，還有它與現實世界的關係——而且看不到一個數字！每個人都該讀讀這本有趣的書，數學家也是。
——伊恩．史都華（Ian Stewart），英國華威大學數學教授、《改變世界的17個方程式》作者
《不用數字的數學》探討深奧的數學主題，呈現數學家的思考方式，再以十分淺顯易懂的方式傳達給讀者。謎題和遊戲更增添本書的趣味性，讀來十分愉快。
——威爾．舒爾茲（Will Shortz），《紐約時報》填字遊戲編輯
淺顯易懂地引介一般大眾不熟悉的概念，說明現代數學為何是人類思想中最迷人且最具成就感的領域。
——格拉漢．法梅洛（Graham Farmelo），《The Universe Speaks in Numbers》作者
本書文句淺顯，又有插圖輔助，讓了解複雜（而且讓人望而生畏）的數學概念變得異常容易。貝克曼輕鬆的筆調和Erazo可愛的插圖相輔相成，娓娓道來深刻又有趣的數學故事。
——喬琪亞．盧比（Giorgia Lupi）和史蒂芬妮．波薩維克（Stefanie Posavec），《Dear Data》及《Observe, Collect, Draw!》共同作者
非常可愛的一本書！數學好玩、令人驚奇又迷人，但這些特質往往被嚇人的方程式和形式主義掩蓋。米羅•貝克曼徹底揭露數學的迷人之處，讓大家體驗。
——蕭恩．卡羅爾（Sean Carroll），加州理工學院物理教授、《Something Deeply Hidden》作者
本書完整呈現數學的有趣之處，同時避開令人生畏的技術細節。我的書架上又多了一本好書。
——謝里夫．傑克森（Shareef Jackson），STEM多樣性倡議者
一窺當代抽象數學的面向
游森棚
（臺灣師範大學數學系教授）
讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。
這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。
這是數學嗎?!
讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。
然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。
我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明Jordan Curve Theorem這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間, 我覺得我在外星球上……
這是數學嗎?!
數學研究什麼
是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。
如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。
用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。
作者的野心
這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。
由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。
要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。
書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……
未盡之言
最後再回到讓全班譁然的Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別——這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……
我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。
無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。
當數學裡沒有數字，會發生什麼事？
——沒有練習題，沒有標準答案，剩下的是發現、探索、推論，以及解謎的樂趣！
這本書除了頁碼之外，完全沒有數字，同時還有100多幅由紐約當地藝術家M手繪的插圖。作者利用文字和圖像來傳達重要的數學概念的感覺，並省去了公式和計算。
雖然沒有數字，但這本書對於數學是什麼？數學涵蓋哪些部分？最有趣的地方在哪裡？這些探索是絕不打折，而且能讓您對於數學，有更廣闊的了解。
例如，有什麼東西比「無限大」更大嗎？世界上總共有多少種形狀？現實生活中什麼時候會用得上這些？這些問題其實都有答案，但答案都不是數字。
從本書一開始，作者帶領我們進入一個奇妙的「現實平面」。在這個平面上，正方形是圓形、賽局是樹，自然世界則是電腦模擬。對於學過九九乘法之後就不再關注數學的人而言，數學真的是抽象怪異到了極點！但是，數學為什麼還那麼有用呢？
這本書寫來生動活潑，而且極富原創性，它帶領我們認識抽象數學的三大分支：拓樸學、分析和代數，把這三個領域解釋得很清晰而有趣。作者說，其實關鍵就是掌握模式。這本書一反傳統的教學方式，邀請讀者運用創意，來思考空間和維度、無限大和無限小、對稱、證明、結構，以及這些概念如何結合在一起，最後，將這些概念應用在日常生活中！
歡迎來到人類知識的最前沿，體驗數學的美麗與奧祕。
專業推薦
李政憲，新北市林口國中老師
洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長
游森棚，臺灣師範大學數學系教授
我要大力推薦這本書！有鑑於拓樸學、量子力學以及相對論極有可能成為本世紀下半葉的公民基礎素養，我尤其希望有語文閱讀自信的讀者，一定要特別注意這一類數學普及書籍的問世，因為這攸關公民科學素養的必要選項。
——洪萬生，臺灣數學史教育學會理事長
這是一本非常特別的數學科普書！我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。
——游森棚，臺灣師範大學數學系教授
什麼？學數學可以不用數字？！作者深入淺出，以圖文介紹了許多看似難懂的數學名詞，以及這些概念與生活、遊戲與哲學等面向的連結，若你覺得不知道數學有何用處，或是有興趣想研究更多數學面向，這本書值得一讀。
——李政憲，新北市林口國中老師、藝數摺學FB社團創辦人、教育部師鐸獎得主
《不用數字的數學》以迷人的魅力、堅定的熱情和大量插圖，帶領讀者進入高等數學的花園。
——喬登．艾倫伯格（Jordan Ellenberg），威斯康辛大學麥迪遜分校數學教授、《數學教你不犯錯》作者
就像在跟你聊天一樣，這是一場愉悅、迷人的數學世界之旅，還有它與現實世界的關係——而且看不到一個數字！每個人都該讀讀這本有趣的書，數學家也是。
——伊恩．史都華（Ian Stewart），英國華威大學數學教授、《改變世界的17個方程式》作者
《不用數字的數學》探討深奧的數學主題，呈現數學家的思考方式，再以十分淺顯易懂的方式傳達給讀者。謎題和遊戲更增添本書的趣味性，讀來十分愉快。
——威爾．舒爾茲（Will Shortz），《紐約時報》填字遊戲編輯
淺顯易懂地引介一般大眾不熟悉的概念，說明現代數學為何是人類思想中最迷人且最具成就感的領域。
——格拉漢．法梅洛（Graham Farmelo），《The Universe Speaks in Numbers》作者
本書文句淺顯，又有插圖輔助，讓了解複雜（而且讓人望而生畏）的數學概念變得異常容易。貝克曼輕鬆的筆調和Erazo可愛的插圖相輔相成，娓娓道來深刻又有趣的數學故事。
——喬琪亞．盧比（Giorgia Lupi）和史蒂芬妮．波薩維克（Stefanie Posavec），《Dear Data》及《Observe, Collect, Draw!》共同作者
非常可愛的一本書！數學好玩、令人驚奇又迷人，但這些特質往往被嚇人的方程式和形式主義掩蓋。米羅•貝克曼徹底揭露數學的迷人之處，讓大家體驗。
——蕭恩．卡羅爾（Sean Carroll），加州理工學院物理教授、《Something Deeply Hidden》作者
本書完整呈現數學的有趣之處，同時避開令人生畏的技術細節。我的書架上又多了一本好書。
——謝里夫．傑克森（Shareef Jackson），STEM多樣性倡議者
一窺當代抽象數學的面向
游森棚
（臺灣師範大學數學系教授）
讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。
這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。
這是數學嗎?!
讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。
然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。
我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明Jordan Curve Theorem這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間, 我覺得我在外星球上……
這是數學嗎?!
數學研究什麼
是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。
如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。
用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。
作者的野心
這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。
由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。
要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。
書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……
未盡之言
最後再回到讓全班譁然的Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別——這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……
我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。
無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。
作者簡介
姓名：米羅•貝克曼Milo Beckman
1995年出生於紐約曼哈頓。他從小就對數學非常著迷，8歲開始在史岱文森（Stuyvesant）高中上數學課，13歲時擔任紐約市數學小組組長，15歲進入哈佛大學。他的研究計畫和獨立研究相當多樣化，曾經被《紐約時報》、538網站、《早安美國》節目、《沙龍》網站、《赫芬頓郵報》、《高等教育紀事報》、《商業內幕》、《波士頓環球報》、《高譚派》（Gothamist）網站、《經濟學人》等媒體報導。
他曾為三家科技公司、兩家銀行和一位美國參議員工作，19歲時退休，開始在紐約、中國和巴西教授數學，並開始撰寫這本書。他目前住在布魯克林。
他的網站milobeckman.com
推特：milobela
譯者簡介
姓名：甘錫安
物理系學業結束後轉職成為「譯人」。曾獲得吳大猷科普著作獎翻譯類佳作，現仍定期為《科學人》、《BBC知識》及《國家地理》等知識類雜誌翻譯。書籍譯作包括《喚醒大腦裡的數學家》、《成分迷思》、《天生不愛動》、《巫師與先知》等。在吸收新知和翻譯之外，最愛的休閒活動是旅行、攝影和水上活動。目前住在有山有海有美食的台灣頭基隆，最大的心願是知識普及、人人快樂。
相關作者簡介
繪者簡介 姓名：M Erazo
M是皮膚黝黑的非二元性別文化工作者及組織者。他以「乳化」（Emulsify）為名創作，協助自己治療、學習、提倡和想像新的世界。他相信所有的藝術都強而有力又具有政治意義。M和太太居住在布魯克林，投入很多時間創作和抱小狗。M的創作能量和愛只是其生活的一部分：他也是支持墮胎的工作者、乳化設計公司創辦人，以及酷兒跨性別黑人與深色人種社群空間「歡天喜地」（Arrebato）的創意總監。M透過作品建立真摯的友誼，向優秀的同儕學習，以及為他們尋找容身之處。想進一步了解M的作品，請參閱網站emulsify.art。
書籍目錄
推薦序 一窺當代抽象數學的面向 游森棚
推薦序 不用數字，數學也可以非常有趣！ 洪萬生
拓樸學
形狀 流形 維度
分析
無窮 連續體 映射
代數
抽象 結構 推論
基礎
對話錄
建模
模型 自動機 科學
繪圖者簡介
文章試閱
形狀
數學家通常都想很多，這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念，試圖找出更深層的意義。
形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時，很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問：形狀是什麼？構成形狀的要素是什麼？我們以形狀分辨物體時，會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的，以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼？當我們說某樣東西是圓形時，看到的是什麼呢？
當然，這些問題沒什麼意義。就實際用途而言，我們對形狀的直覺理解就已經夠了─生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想，形狀倒是個很有趣的主題。
假設我們現在要思考了，我們或許會問自己這個問題：
世界上有幾種形狀？
這個問題很簡單，但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法，稱為廣義龐卡赫猜想（generalized Poincaré conjecture，或譯龐加萊猜想）。這個猜想提出至今已經超過一百年，目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多，有一位數學家解出這個問題的大部分，因此獲得了100萬美元獎金，但還有許多種形狀沒有找到，所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。
我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀？如果沒有更好的點子，有個不錯的方法是畫出一些形狀，看看會有什麼結果。
看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎？波浪線（squiggle）應該全部算成一大類，還是應該依彎曲的方式細分？我們需要一種通用規則來解決這類爭議，才不用每次都需要停下來爭論。
可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師，通常會希望規則既嚴謹又精確：必須長度、角度和曲線都完全相等，兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學（geometry）這個數學領域。在這個領域裡，形狀嚴格又精確，經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。
但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀，但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則，它能夠把所有的形狀分成若干類別，但類別的數量又不至於太多。
新規則
如果一個形狀不需要剪剪貼貼，只要拉伸或擠壓就能變成另一個形狀，則這兩個形狀相同。
這個規則是拓樸學（topology）的核心概念，拓樸學就像是比較寬鬆模糊的幾何學。在拓樸學中，形狀以極薄且可無限延展的材料形成，像橡皮或麵團一樣，可以任意拉扯、扭轉和改變。在拓樸學中，形狀的大小並不重要。
此外，正方形和矩形相同，圓形也和橢圓形相同。
現在奇怪的事情來了！如果用這個「拉伸或擠壓」規則來思考，圓形和正方形也是相同的形狀！
先別急著告訴朋友，我們看到有一本書上說正方形是圓形！別忘了：背景前提很重要。在拓樸學中，正方形確實是圓形，但在藝術或建築、日常對話，甚至幾何學中，正方形當然不可能是圓形。如果有一輛自行車的輪子是正方形，這輛自行車一定騎不遠。
但現在我們研究的是拓樸學，研究拓樸學時，我們不用理會揉一揉就會消失的尖角這類小細節。我們會忽視長度和角度、直線邊或曲線邊或波浪邊等外表的差異，只看形狀的核心，也就是構成這個形狀的基本特徵。拓樸學家觀察正方形或圓形時，看到的是一個封閉迴圈，其他的都只是我們拉伸或擠壓它所形成的特徵。
這就像問：「項鍊是什麼形狀？」項鍊用某種方式拿著就是正方形，換一種方式又變成圓形。但不管我們怎麼改變，項鍊都有個不會改變的基本形狀，無論是正方形、圓形、八角形、心形、新月形、水滴形，或是七百一十六邊形。
這個形狀有許多不同的形式，所以不能稱為圓形或正方形。我們有時稱它為圓形，但在拓樸學說法中，這種形狀的正式名稱是S1。S1是項鍊、手鐲或橡皮筋、跑道或賽車場、護城河或國家邊界（假設沒有阿拉斯加）、字母O和大寫D的形狀，或是任何形狀的封閉迴圈。如同正方形是一種特定的矩形，這些形狀也都是特定的S1。
還有其他形狀嗎？如果這個拉伸和擠壓規則太過寬鬆，結果把許多不同的形狀通通歸成一個大類，這樣也不行。還好這個規則不會這樣，還是有其他種形狀和圓形不同。
例如線：
一條線可以彎成接近圓形，但是要變成真正的圓形，線的兩頭必須接在一起，但這樣不行。無論我們如何彎轉一條線，線的兩端一定各有一個點，形狀就到此為止，這兩個端點不能去除。我們可以任意移動和拉遠端點，但端點是這個形狀不變的特徵。
同樣地，「8」也是另一個不同的形狀。8沒有端點，但中間有個特殊的交叉點，這個點有四條線向外延伸，而其他點則只有兩條線往外。無論怎麼拉伸和擠壓，都不可能使這個交叉點消失。
仔細想想，這個資訊已經足以讓我們回答「世界上有幾種形狀？」這個問題。答案是無限多種，以下是我的證明：
證明
我們觀察一下這組形狀。如果在原本的形狀上畫一筆，就會生成新的形狀。
每個新形狀都比前一個形狀有更多的交叉點和端點，所以一定是不同的新形狀。如果一直添加下去，將會得到無限多個不同的形狀，因此形狀有無限多種。
故得證
這樣可以接受嗎？我們要做的只是找出這樣一組無限多種形狀，而且它顯然能永遠不停地生成新形狀。